Proveu sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Resposta:

Explicació

Explicació:

En un pla de coordenades normal, tenim coordenades com (1,2) i (3,4) i coses així. Podem reexprimir aquestes coordenades n termes de radis i angles. Per tant, si tenim el punt (a, b) això vol dir que anem a les unitats cap a la dreta, les unitats b i #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # com la distància entre l’origen i el punt (a, b). cridaré #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r

Així ho tenim # re ^ arctan (b / a) #

Ara, per acabar aquesta prova, recordem una fórmula.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

La funció de l'arc bronzejat em dóna un angle que també és theta.

Així doncs, tenim la següent equació:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Ara dibuixa un triangle dret.

L’arctan de (b / a) em diu que b és el costat oposat i a és el costat adjacent. Així que si vull el cos de l'arctan (b / a), utilitzarem el teorema de Pitágora per trobar la hipotenusa. La hipotenusa és #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Així, el cos (arctan (b / a)) = adjacent a la hipotenusa = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

La millor part d’aquest és el fet que aquest mateix principi s’aplica a sine. Així, sin (arctan (b / a)) = oposat a la hipotenusa = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Així que ara podem expressar de nou la nostra resposta: #r * ((un / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Però recordeu-ho #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # així que ara tenim: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. El r es cancel·la i us queda el següent: # a + bi #

Per tant, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi