Quin és l'interval de convergència de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] n? I quina és la suma en x = 3?

Resposta:

# - oo, -4 "U" 5, oo "és l'interval de convergència per a x" #

# "x = 3 no està en l'interval de convergència, de manera que la suma per x = 3 és" oo #

Explicació:

# "Tracta la suma tal com seria una sèrie geomètrica substituint"

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Llavors tenim" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "per" | z | <1 #

# "Per tant, l'interval de convergència és" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatiu)" #

# "Cas positiu:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 i x> 5 #

# => x> 5 #

# "Cas negatiu:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 i x <5 #

# => x <-4 #

# "Segona part:" x = 3 => z = 2> 1 => "la suma és" oo #