Quin és el perímetre d’un octàgon regular amb un radi de longitud 20?

Resposta:

Depèn:

Si el radi intern és #20#, llavors el perímetre és:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Si el radi exterior és #20#, llavors el perímetre és:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Explicació:

Aquí el cercle vermell circumscriu el radi exterior i el cercle verd de l'interior.

Deixar # r # siga el radi exterior: aquest és el radi del cercle vermell.

A continuació, els vèrtexs de l’octogó se centren a #(0, 0)# es troba a:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

La longitud d’un costat és la distància entre # (r, 0) # i # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2)

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Per tant, el perímetre total és:

#color (vermell) (8rt sqrt (2-sqrt (2))) #

Així que si el radi exterior és #20#, llavors el perímetre és:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#color (blanc) () #

El radi interior serà # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Tan #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Llavors el perímetre total és

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = color (verd) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Així, si el radi intern és #20#, llavors el perímetre és:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#color (blanc) () #

Què tan bona és una aproximació #Pi# ens dóna això?

Mentre som aquí, quina aproximació hi ha #Pi# obtenim una mitjana de ràdios interns i externs?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… no és genial.

Per obtenir una aproximació tan bona com #355/113 ~~ 3.1415929#, el matemàtic xinès Zu Chongzhi va utilitzar un #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) polígons laterals i varetes de recompte.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi