Resposta:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # per #b a RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #) per #b = | b | e ^ (itheta) a CC #
Explicació:
Mitjançant el teorema fonamental de l’àlgebra, podem factoritzar l’expressió donada com
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
on cadascun # alpha_k # és l’arrel de # x ^ 8 + b ^ 8 #.
Resolució de # alpha_k #, obtenim
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (suposant #b a RR #)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k en ZZ #
Com #k a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # comptes de tots els valors únics d’aquesta forma, obtenim la nostra factorització com, per #b a RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Per més general #b a CC #, llavors suposant #b = | b | e ^ (itheta) #, podem trobar càlculs similars per trobar
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
significat
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #)
Ho sento, ignoro alguns detalls menors, la resposta de sente és correcta.
Suposem #b ne 0 # i # a, b a RR # tenim
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # llavors
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # llavors
# a-b i ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 són els # k = 0,1, cdots, 7 # arrels o factors.
Definiu
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
i llavors
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
tan
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # amb coeficients reals.
