Quins són els extrems globals i locals de f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Resposta:

#f (x) # té un mínim absolut a #(-1. 0)#

#f (x) # té un màxim local a # (- 3, 4e ^ -3) #

Explicació:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Regla del producte

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Per a extrems locals o absoluts: #f '(x) = 0 #

Aquí és on: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0

Des de # e ^ x> 0 forall x a RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 o -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Regla del producte

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

De nou des de llavors # e ^ x> 0 # només hem de provar el signe de # (x ^ 2 + 6x + 7) #

als nostres punts extremenys per determinar si el punt és un màxim o un mínim.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # és un mínim

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # és un màxim

Considerant el gràfic de #f (x) # a continuació, està clar que #f (-3) # és un màxim local i #f (-1) # és un mínim absolut.

gràfic {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Finalment, avaluant els punts d’extrem:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0

i

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #