Què és el domini i el rang de y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

Resposta:

Domini: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

Gamma: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

Explicació:

El domini és tots els valors de # y # on # y # és una funció definida.

Si el denominador és igual a #0#, la funció normalment no està definida. Així que aquí, quan:

# x + 3 = 0 #, la funció no està definida.

Per tant, a # x = -3 #, la funció no està definida.

Per tant, el domini es declara com # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

L’interval és tots els valors possibles de # y #. També es troba quan el discriminant de la funció és inferior a #0#.

Per trobar el discriminant (# Delta #), hem de fer de l’equació una equació quadràtica.

# y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# x ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# x ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3y) = 0 #

Aquesta és una equació quadràtica on # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

Des de # Delta = b ^ 2-4ac #, podem introduir:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3y) #

# Delta = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12y #

# Delta = y ^ 2 + 14y + 5 #

Una altra expressió quadràtica, però aquí, des de #Delta> = 0 #, és una desigualtat de la forma:

# y ^ 2 + 14y + 5> = 0 #

Resolim per # y #. Els dos valors de # y # serem els límits superior i inferior del rang.

Ja que podem factoritzar # ay ^ 2 + per + c # com # (y - (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (i - (b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) #, podem dir, aquí:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. Introducció:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

Per tant, els factors són # (y- (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7))> = 0

Tan #y> = 2sqrt (11) -7 # i #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

En la notació d’interval es pot escriure l’interval:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #