Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Resposta:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1

Explicació:

busquem:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Quan avaluem un límit, observem el comportament de la funció "a prop" del punt, no necessàriament el comportament de la funció "en" el punt en qüestió, així com #x rarr 0 #, en cap moment hem de considerar què passa # x = 0 #, Així obtenim el resultat trivial:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

= lim_ (x rarr 0)

# = 1 #

Per claredat, un gràfic de la funció per visualitzar el comportament # x = 0 #

gràfic {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Cal deixar clar que la funció # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # no està definida a # x = 0 #

Resposta:

Si us plau mireu més a baix.

Explicació:

Les definicions de límit d'una funció que utilitzo són equivalents a:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # si i només de Per cada positiu # epsilon #, hi ha un positiu # delta # tal que per a tots # x #, si # 0 <abs (x-a) <delta # llavors #abs (f (x) - L) <epsilon #

A causa del significat de "#abs (f (x) - L) <epsilon #", això requereix per a tots # x # amb # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # està definit.

És a dir, per a les necessitats # delta #, tots ells # (a-delta, a + delta) # excepte possiblement # a #, es troba en el domini de # f #.

Tot això ens fa arribar:

#lim_ (xrarra) f (x) # només existeix si # f # es defineix en un interval obert que conté # a #, excepte potser a # a #.

(# f # s'ha de definir en alguns barris oberts eliminats de # a #)

Per tant, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # no existeix.

Un exemple gairebé trivial

#f (x) = 1 # per # x # un real irracional (indefinit per als racionals)

#lim_ (xrarr0) f (x) # no existeix.