Aquesta és una prova trigonomètrica d’un cas generalitzat, la pregunta es troba al quadre de detalls?

Resposta:

A continuació es mostra la prova per inducció.

Explicació:

Provem aquesta identitat per inducció.

R. Perquè # n = 1 # hem de comprovar-ho

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

De fet, utilitzant la identitat #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, ho veiem

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

de la qual segueix això

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Per tant, per # n = 1 # la nostra identitat és vàlida.

B. Suposo que la identitat és certa per a # n #

Per tant, assumim això

# (2cos (2 ^ neta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j en 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(símbol #Pi# s'utilitza per al producte)

C. Mitjançant l'assumpció B anterior, demostrem la identitat de # n + 1 #

Hem de demostrar que a partir del supòsit B segueix

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j en 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(observeu que el límit dret per a un índex de multiplicació és # n # ara).

PROVA

Utilitzar una identitat #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # per # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ neta) -1 * 2cos (2 ^ neta) +1 #

Dividiu les expressions inicial i final de # 2cos (theta) +1 #, aconseguir-ho

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Ara fem servir l'assumpció B

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ntheta) -1 * Pi _ (j en 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j a 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(tingueu en compte que ara s'estén el rang d’un índex a # n #).

La darrera fórmula és exactament igual # n + 1 # com a original és per a # n #. Això completa la prova per inducció que la nostra fórmula és certa per a qualsevol # n #.

Resposta:

Vegeu la secció Prova de l'explicació a continuació.

Explicació:

Això equival a provar que, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "El L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "el R.H.S."

Gaudeix de les matemàtiques.