Com es pot solucionar amb la integració?

Resposta:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Àrea" = 117/4 #

Explicació:

Q és la intercepció x de la línia # 2x + y = 15 #

Per trobar aquest punt, anem # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Tan # Q = (15 / 2,0) #

P és un punt d'intercepció entre la corba i la línia.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# a #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0

# x = -5 # o bé # x = 3 #

A partir del gràfic, la coordinada x de P és positiva, de manera que podem rebutjar # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

gràfic {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Ara per a la zona

Per trobar l'àrea total d’aquesta regió, podem trobar dues àrees i sumar-les.

Aquests seran l'àrea sota # y = x ^ 2 # de 0 a 3 i la zona sota la línia de 3 a 15/2.

# "Àrea sota la corba" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Podem resoldre l'àrea de la línia a través de la integració, però és més fàcil tractar-la com un triangle.

# "Àrea sota la línia" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "àrea total de la regió ombrejada" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Resposta:

Per a 3 i 4

Tom ha fet 10

Explicació:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Resposta:

Mirar abaix:

Avís: resposta llarga!

Explicació:

Per (3):

Ús de la propietat:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Per tant:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Per (4):

(el mateix)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Tanmateix, hem de canviar els límits de la integral, de manera que:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Tan:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Per a 10 (a):

Tenim dues funcions que es tallen a # P #, així que a # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(He convertit la funció de línia en forma d’interconnexió de pendent)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0

Tan # x = 3 # com a la dreta de la # y # eix, així #x> 0 #.

(entrada # x = 3 # en qualsevol de les funcions)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Així que la coordenada de # P # és #(3,9)#

Per # Q #, La línia # y = -2x + 15 # talla la # y #-xi, així # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

Tan # Q # es troba a #(7.5, 0)#

Per a 10 (b).

Construiré dues integrals per trobar la zona. Resoldré les integrals per separat.

La zona és:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Resol la primera integral)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(substituïu els límits per l’expressió integrada;

Límit inferior superior trobar el valor de la integral)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(soluciona la segona integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(límits de substitució: superior-inferior)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #