Resposta:
La corba d’intersecció pot ser parametritzada com # (z, r) = ((81/2) sin2 heta, 9) #.
Explicació:
No estic segur de què vol dir per funció vectorial. Però entenc que busqueu representar la corba d’intersecció entre les dues superfícies a la declaració de la pregunta.
Atès que el cilindre és simètric al voltant del # z # eix, pot ser més fàcil expressar la corba en coordenades cilíndriques.
Canviar a coordenades cilíndriques:
#x = r cos
#y = r sin
#z = z #.
# r # és la distància des de la # z # eix i # heta és l’angle antihorari de la imatge # x # eix a la # x, y # avió.
Llavors la primera superfície es converteix
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 heta + r ^ 2sin ^ 2 heta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, a causa de la identitat trigonomètrica pitagòrica.
La segona superfície es converteix
#z = xy #
#z = rcos heta rsin
# z = r ^ 2sin heta.
Hem après de l’equació de la primera superfície que la corba d’intersecció ha d’estar a una distància quadrada # r ^ 2 = 81 # des de la primera superfície, donant-ho
#z = 81 sin, #z = (81/2) sin2, una corba parametritzada per # heta. L’últim pas és una identitat trigonomètrica i es fa només amb les preferències personals.
A partir d’aquesta expressió veiem que la corba és efectivament una corba, ja que té un grau de llibertat.
Tot, en total, podem escriure la corba com
# (z, r) = ((81/2) sin2 heta, 9) #, que és una funció valorada per vector d'una sola variable # heta.
Resposta:
Mirar abaix.
Explicació:
Tenint en compte la intersecció de
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z en RR):} #
amb
# C_2-> z = x y #
o bé # C_1 nn C_2 #
tenim
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):}
ara resolent # x ^ 2, i ^ 2 # obtenim les corbes paramètriques
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} o bé
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2))))):}
que són reals per a
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
S'adjunta una trama que mostra la corba d’intersecció en vermell (una fulla).
