Quins són els extrems absoluts de f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x a [0, pi / 4]?

Resposta:

màxim absolut: # (pi / 4, pi / 4) #

mínim absolut: #(0, 0)#

Explicació:

Donat: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x a 0, pi / 4 #

Cerca la primera derivada utilitzant la regla del producte dues vegades.

Regla del producte: # (uv) '= uv' + v u '# #

Deixar #u = 2x; "" u '= 2 #

Deixar #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Per a la segona meitat de l’equació:

Deixar #u = x; "" u '= 1 #

Deixar #v = cos (2x); "" v "= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2s ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Simplifica:

#f '(x) = cancel·lar (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x cancel·la (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

La identitat pitagòrica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Això vol dir que no hi ha valors crítics quan #f '(x) = 0 #

El màxim absolut i els mínims es troben als punts finals de l’interval de funció.

Prova els punts finals de la funció:

#f (0) = 0; "Mínim absolut:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Màxim absolut:" (pi / 4, pi / 4) #