Utilitzeu el teorema de zeros racionals per trobar els zeros possibles de la següent funció polinòmica: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Resposta:

El possible racional zeros són:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Explicació:

Donat:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Pel teorema de zeros racionals, qualsevol zeros racional de #f (x) # són expressibles en el formulari # p / q # per a enters #p, q # amb # p # un divisor del terme constant #-35# i # q # un divisor del coeficient #33# del terme principal.

Els divisors de #-35# són:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Els divisors de #33# són:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Així, els possibles zeros racionals són:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

o en ordre creixent de mida:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Tingueu en compte que aquestes són només les possibilitats racionals. El teorema dels zeros racionals no ens explica possibles zeros irracionals o complexos.

Utilitzant la regla dels signes de Descartes, podem determinar que aquest cúbic no té zeros i negatius #1# o bé #3# zeros reals positius.

Així, els únics zeros racionals possibles són:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Provant cadascun d'ells, trobem:

#f (1/11) = 33 (color (blau) (1/11)) ^ 3-245 (color (blau) (1/11)) ^ 2 + 407 (color (blau) (1/11)) -35 #

#color (blanc) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (blanc) (f (1/11)) = 0 #

Tan # x = 1/11 # és un zero i # 11x-1 # un factor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Per factoritzar el quadràtic restant podem utilitzar un mètode AC:

Trobeu un parell de factors de #AC = 3 * 35 = 105 # amb suma # B = 22 #

La parella #15, 7# obres.

Utilitzeu aquest parell per dividir el terme mitjà i factoritzar-lo per agrupació:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (blanc) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (blanc) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Així que els altres dos zeros són:

# x = 7/3 "" # # i # "" x = 5 #