El nombre de maneres de dividir 52 targetes entre quatre jugadors perquè tres jugadors tinguin 17 cartes cadascuna i el quart jugador només quedi amb una sola targeta?

Resposta:

# (((52), (17)) ((35), (17)) ((18), (17)) ((1), (1))) / 6 ~~ 2.99xx10 ^ 23 # maneres

Explicació:

Primer veurem que es tracta d’un problema de combinacions: no ens importa l’ordre en què es distribueixen les cartes:

#C_ (n, k) = ((n), (k)) = (n!) / ((K!) (N-k)!) # amb # n = "població", k = "selecciona"

Una manera de fer-ho és veure que per a la primera persona, escollirem 17 de 52 targetes:

#((52),(17))#

Per a la segona persona, escollirem 17 cartes de les 35 cartes restants:

#((52),(17))((37),(17))#

i podem fer el mateix per al següent jugador:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))#

i també podem introduir un últim terme per al darrer jugador:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))((1),(1))#

I ara, per a l'últim cop, hem configurat aquest tema perquè hi hagi una primera persona definitiva, després la segona persona, després la tercera persona i, finalment, l'última persona, cosa que podria estar bé, però estem tractant a la primera persona d'una manera diferent a la segona i aquests dos són diferents del tercer, tot i que se suposa que són idèntics en el seu mètode de dibuix. Hem fet que l’ordre sigui important i l’ordre és un concepte de permutació (vegeu més avall a continuació).

No volem que l’ordre sigui important i, per tant, hem de dividir-nos pel nombre de maneres en què podem organitzar les tres persones, és a dir #3! = 6#

Tot això dóna:

# (((52), (17)) ((35), (17)) ((18), (17)) ((1), (1))) / 6 ~~ 2.99xx10 ^ 23 # maneres

~~~~~

Vegem un exemple molt més petit per veure la nota en ordre. Prenguem 5 articles i els distribuïm entre 3 persones: 2 persones reben 2 ítems cadascuna i l'última persona rebrà el document restant. Calculant de la mateixa manera que ho vam fer anteriorment:

# ((5), (2)) ((3), (2)) ((1), (1)) = 10xx3xx1 = 30 # maneres

Però si realment els comptem:

A, BC, DE

A, BD, CE

A, BE, CD

B, AC, DE

B, AD, CE

B, AE, CD

C, AB, DE

C, AD, BE

C, AE, BD

D, AB, CE

D, AC, BE

D, AE, BC

E, AB, CD

E, AC, BD

E, AD, BC

només hi ha 15. Per què? Hem fet una primera persona i una segona persona definides en el càlcul (es pot escollir entre 5, el següent per triar de 3) i per això vam fer una comanda. En dividir-se pel nombre de persones que se suposa que són iguals, però que no es troben en el càlcul, dividim l’ordre, o el nombre de persones que se suposa que són iguals, però no ho són, factorial. En aquest cas, aquest nombre és 2 i així #2! = 2#, donant:

#30/2=15# que és la resposta correcta