Es va trobar un cos a les 10 del matí en un magatzem on la temperatura era de 40 ° F. L’expert mèdic va trobar que la temperatura del cos era de 80 ° F. Quin era el moment aproximat de la mort?

Resposta:

El temps aproximat de la mort és #8:02:24# sóc

És important tenir en compte que aquesta és la temperatura de la pell del cos. L’expert mèdic mesuraria la temperatura interna que disminuiria molt més lentament.

Explicació:

La llei de refredament de Newton indica que la taxa de canvi de temperatura és proporcional a la diferència amb la temperatura ambient. És a dir

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Si #T> T_0 # llavors el cos ha de refredar-se, de manera que la derivada hauria de ser negativa, per tant inserim la proporcionalitat constant i arribem a

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Multiplicant el claudàtor i canviant les coses sobre nosaltres:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Ara es pot utilitzar el mètode de factor integrador per resoldre els EDOs.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Multiplica els dos costats de #I (x) # aconseguir

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Tingueu en compte que utilitzant la regla del producte podem reescriure el LHS, deixant:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrar ambdues parts wrt a # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Dividiu-vos per # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

La temperatura mitjana del cos humà és # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Deixar # t_f # ser l’hora en què es troba el cos.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 hr #

Així, des del moment de la mort, assumint que el cos immediatament va començar a refredar-se, va trigar 1,96 hores a arribar als 80 ° F en aquest moment es va trobar.

# 1.96hr = 117.6min #

El temps aproximat de la mort és #8:02:24# sóc