Dues cantonades d’un triangle isòsceles es troben a (1, 6) i (2, 9). Si l'àrea del triangle és 36, quines són les longituds dels costats del triangle?

Resposta:

#sqrt (10), sqrt (520.9), sqrt (520.9) ~ = 3.162,22.823,22.823 #

Explicació:

La longitud del costat donat és

# s = sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-6) ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt (10) ~ = 3.162 #

De la fórmula de l'àrea del triangle:

# S = (b * h) / 2 # => # 36 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # h = 72 / sqrt (10) ~ = 22.768 #

Com que la figura és un triangle isòsceles que podríem tenir Cas 1, on la base és el costat singular, il·lustrat per la figura (a) següent

O podríem tenir Cas 2, on la base és un dels costats iguals, il·lustrada per les Figs. (b) i (c) a continuació

Per a aquest problema, s'aplica el cas 1, ja que:

#tan (alpha / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (alfa / 2) #

Però hi ha una condició perquè el cas 2 s’aplica:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

O # h = bsin gamma #

Des del més alt valor de #sin beta # o bé #sin gamma # és #1#, el valor més alt de # h #, al cas 2, ha de ser # b #.

En el problema actual h és més llarg que el costat al qual és perpendicular, de manera que per a aquest problema només s'aplica el cas 1.

Considerant la solució Cas 1 (Fig. (A))

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (72 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 5184/10 + 10/4 = (5184 + 25) / 10 = 5209/10 # => # b = sqrt (520,9) ~ = 22,823 #