Quina és la forma estàndard de l'equació d'un cercle que passa per (0, -14), (-12, -14) i (0,0)?

Resposta:

Un cercle de radi #sqrt (85) # i centre #(-6,-7)#

L’equació del formulari estàndard és: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

O, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Explicació:

L’equació cartesiana d’un cercle amb centre # (a, b) # i radi # r # és:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Si el cercle passa per (0, -14) llavors:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Si el cercle passa per (0, -14) llavors:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Si el cercle passa per (0,0) llavors:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Ara tenim 3 equacions en 3 incògnites

Eq 2 - Eq 1 dóna:

# (12 + a) ^ 2 -a ^ 2 = 0

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

Subs # a = 6 # a Eq 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # a = 6 # i # r ^ 2 = 36 + b ^ 2 #a Eq 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

I finalment, Subs # b = -7 # a Eq 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

I és que l’equació del cercle és

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

El que representa un cercle de radi #sqrt (85) # i centre #(-6,-7)#

Podem multiplicar-ho si és necessari per obtenir:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #