Considerem 3 cercles iguals de radi r dins d’un determinat cercle de radi R cada un per tocar els altres dos i el cercle donat com es mostra a la figura, llavors l’àrea de la regió ombrejada és igual a?

Podem formar una expressió per a l'àrea de la regió ombrejada:

#A_ "ombrejat" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centre" #

on #A_ "centre" # és l'àrea de la petita secció entre els tres cercles més petits.

Per trobar l'àrea, podem dibuixar un triangle connectant els centres dels tres cercles blancs més petits. Atès que cada cercle té un radi de # r #, la longitud de cada costat del triangle és # 2r # i el triangle és equilàter de manera que tinguin angles de # 60 ^ o # cadascun.

Podem dir que l’angle de la regió central és l’àrea d’aquest triangle menys els tres sectors del cercle. L’alçada del triangle és simplement #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, així que l’àrea del triangle és # 1/2 * base * alçada = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

L'àrea dels tres segments de cercle dins d’aquest triangle és essencialment la mateixa àrea que la meitat d’un dels cercles (a causa de tenir angles de # 60 ^ o # cadascun, o #1/6# un cercle, de manera que podem deduir l’àrea total d’aquests sectors # 1/2 pir ^ 2 #.

Finalment, podem determinar l’àrea de la regió del centre #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Tornant a la nostra expressió original, l’àrea de la regió ombrejada és

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Resposta:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi-sqrt (3)) #

Explicació:

Donem als cercles blancs un radi de # r = 1 #. Els centres formen un triangle equilàter de costat #2#. Cada mitjana / altitud és #sqrt {3} # de manera que la distància entre un vèrtex i el centroide és # 2/3 sqrt {3} #.

El centroide és el centre del cercle gran de manera que sigui la distància entre el centre del cercle gran i el centre del cercle petit. Afegim un petit radi de # r = 1 # aconseguir

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

L'àrea que busquem és l'àrea del cercle gran menys el triangle equilàter i la resta #5/6# de cada petit cercle.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi-sqrt (3) #

Escalarem per # r ^ 2 # en general.