Quin és el període de f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42)?

Resposta:

#T = 504pi #

Explicació:

En primer lloc, ho sabem #sin (x) # i #cos (x) # tenir un període de # 2pi #.

Des d’aquest fet, podem deduir-ho #sin (x / k) # té un període de # k * 2pi #: es pot pensar això # x / k # és una variable que s'executa a # 1 / k # la velocitat de # x #. Així, per exemple, # x / 2 # corre a la meitat de la velocitat de # x #, i necessitarà # 4pi # tenir un període, en lloc de # 2pi #.

En el teu cas, #sin (t / 36) # tindrà un període de # 72pi #, i #cos (t / 42) # tindrà un període de # 84pi #.

La vostra funció global és la suma de dues funcions periòdiques. Per definició, #f (x) # és periòdic amb el període # T # si # T # és el nombre més petit tal que

#f (x + T) = f (x) #

i en el teu cas, això es tradueix en

#sin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

A partir d’aquí es pot veure el període de #f (x) # no pot ser # 72pi # ni tampoc # 84pi #, perquè només un dels dos termes farà un gir sencer, mentre que l’altre assumirà un valor diferent. I ja ho necessitem tots dos termes per fer un gir sencer, hem de prendre el múltiple comú mínim entre els dos períodes:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Resposta:

# 1512pi #.

Explicació:

El menys positiu P (si n'hi ha) tal que f (t + P) = f (t) sigui adequadament

anomenat període de f (t). Per a aquest P, f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #.

Per #sin t i cos t, P = 2pi.

Per #sin kt i cos kt, P = 2 / kpi.

Aquí, el període de #sin (t / 36) # és pi / 18 # i, per #cos (t / 42) #, és # pi / 21 #.

Per a l'oscil·lació composta donada f (t), el període P hauria de ser

de manera que també és el període dels termes separats.

Aquest P es dóna per # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). Per a M = 42 i N = 36, # P = 1512 pi #

Ara, mireu com funciona.

#f (t + 1512pi) #

# = sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

# = f (t).

Si reduïu la meitat a P a 761, això és senar. Per tant, P = 1512 és el menys possible

fins i tot múltiples de #Pi#.