Un acord amb una longitud de 12 s'executa des de pi / 12 a pi / 6 radiants en un cercle. Quina és la zona del cercle?

Resposta:

L'àrea d'un cercle és

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Explicació:

La imatge anterior reflecteix les condicions establertes al problema. Tots els angles (ampliats per a una millor comprensió) es troben en radians comptats des de l'eix X horitzontal # OX # en sentit antihorari.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Hem de trobar un radi d’un cercle per determinar la seva àrea.

Sabem aquest acord # AB # té longitud #12# i un angle entre radis # OA # i # OB (on?) # O # és un centre d’un cercle) és

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12

Construïu una altitud # OH d'un triangle #Delta AOB # del vèrtex # O # al costat # AB #. Des de #Delta AOB # és isòsceles, # OH és una mediana i una bisectriu:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Penseu en un triangle dret #Delta AOH #.

Sabem aquest catet # AH = 6 # i angle # / _ AOH = pi / 24 #.

Per tant, hipotenusa # OA #, que és un radi del nostre cercle # r #, igual a

# r = OA = (AH) / sin (/ _AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Conèixer el radi, podem trobar una zona:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Anem a expressar això sense funcions trigonomètriques.

Des de

# sin ^ 2 (phi) = (1 cos (2phi)) / 2 #

podem expressar l'àrea com segueix:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Una altra identitat trigonomètrica:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2

Per tant,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Ara podem representar l’àrea d’un cercle com

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4))

Resposta:

Un altre enfocament mateix resultat

Explicació:

L’acord AB de longitud 12 a la figura anterior s’ha de passar de# pi / 12 # a # pi / 6 # en el cercle de radi r i centre O, pres com a origen.

# / _ AOX = pi / 12 # i # / _ BOX = pi / 6 #

Coordenades polars d’A # = (r, pi / 12) # i la de B # = (r, pi / 6) #

Aplicació de la fórmula de distància per a coordenades polars

la longitud de la corda AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Així que l'àrea del cercle

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) # #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #