Com es pot trobar una funció quadràtica f (x) = ax² + bx + c donat el valor mínim -4 quan x = 3; un zero és 6?

Resposta:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Les funcions quadràtiques són simètriques sobre la seva línia de vèrtex, és a dir, a x = 3, el que implica que l'altre zero serà a x = 0.

Sabem que el vèrtex té lloc a x = 3, de manera que la primera derivada de la funció avaluada a x = 3 serà zero.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

També coneixem el valor de la pròpia funció a x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Tenim dues equacions, però tres incògnites, així que necessitarem una altra equació. Mireu el zero conegut:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Ara tenim un sistema d’equacions:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Per llegir les solucions, volem reduir la nostra matriu de coeficients a la forma reduïda de l’escala utilitzant operacions de fila elementals.

Multiplica la primera fila per #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Afegeix #-9# vegades la primera fila a la segona fila:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Afegeix #-36# vegades la primera fila del tercer:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Multipliqueu la segona fila per #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Afegeix #-2/3# vegades la tercera fila a la segona fila:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Afegeix #-1/6# vegades la segona a la primera

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Fer aquesta sèrie d’operacions al vector de solució dóna:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Llegiu les solucions que tenim # a = 4/9 i b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

gràfic {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}