L’altitud d’un triangle augmenta a una velocitat d’1,5 cm / min mentre l’àrea del triangle augmenta a una velocitat de 5 cm2 / min. A quina velocitat canvia la base del triangle quan l’altitud és de 9 cm i la superfície és de 81 cm quadrats?

Aquest és un problema relacionat amb el tipus de canvi (de canvi).

Les variables d’interès són

# a # = altitud

# A # = àrea i, ja que l’àrea d’un triangle és # A = 1 / 2ba #, necessitem

# b # = base.

Les taxes de canvi donades són en unitats per minut, de manera que la variable (invisible) independent és # t # = temps en minuts.

Ens donen:

# (da) / dt = 3/2 # cm / min

# (dA) / dt = 5 # cm#''^2#/ min

I se'ns demana que ho trobem # (db) / dt # Quan #a = 9 # cm i #A = 81 #cm#''^2#

# A = 1 / 2ba #, diferenciat respecte a # t #, obtenim:

# d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba) #.

Necessitarem la regla del producte a la dreta.

# (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt #

Se'ns va donar tots els valors excepte # (db) / dt # (que estem tractant de trobar) i # b #. Utilitzant la fórmula de l'àrea i els valors de # a # i # A #, ho veiem # b = 18 #cm.

Substitució:

# 5 = 1/2 (db) / dt (9) +1/2 (18) 3/2

Resoldre per # (db) / dt = -17 / 9 #cm / min.

La base disminueix a #17/9# cm / min.