Què són els extrems de f (x) = 3x-1 / sinx a [pi / 2, (3pi) / 4]?

Resposta:

El mínim absolut del domini es produeix a aprox. # (pi / 2, 3.7124) #, i el màxim absolut del domini es produeix a aprox. # (3pi / 4, 5.6544) #. No hi ha cap extrema local.

Explicació:

Abans de començar, ens cal analitzar i veure si #sin x # adquireix un valor de #0# en qualsevol punt de l’interval. #sin x # és zero per a tots els x tals que #x = npi #. # pi / 2 # i # 3pi / 4 # tots dos són inferiors a #Pi# i més gran que # 0pi = 0 #; així, #sin x # no adquireix un valor de zero aquí.

Per tal de determinar això, recordeu que ocorre un extrem on #f '(x) = 0 # (punts crítics) o en un dels extrems. Tenint en compte això, prenem la derivada de f (x) anterior i trobem els punts on aquesta derivada és igual a 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Com hem de resoldre aquest últim terme?

Tingueu en compte breument el document regla recíproca, que es va desenvolupar per gestionar situacions com ara el nostre últim terme aquí, # d / (dx) (1 / sin x) #. La regla recíproca ens permet passar per alt directament amb la regla de la cadena o del quocient indicant que donem una funció diferenciable #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

Quan #g (x)! = 0 #

Tornant a la nostra principal equació, ens vam quedar amb;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Des de #sin (x) # és diferenciable, aquí podem aplicar la regla recíproca:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Establint aquest valor igual a 0, arribem a:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Això només es pot produir quan #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. A partir d’aquí s’hauria d’haver d’utilitzar una de les definicions trigonomètriques, concretament # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Això s'assembla a un polinomi, amb #cos x # substituir el nostre x tradicional. Així, declarem #cos x = u # i …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Utilitzant la fórmula quadràtica aquí …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Les nostres arrels es produeixen a #u = (1 + -sqrt37) / 6 # segons això. No obstant això, una d’aquestes arrels (# (1 + sqrt37) / 6 #) no pot ser l’arrel per a #cos x # perquè l’arrel és major que 1, i # -1 <= cosx <= 1 # per a tots els x. D'altra banda, la nostra segona arrel es calcula aproximadament #-.847127#. Tanmateix, això és inferior al valor mínim de la #cos x # la funció pot en l'interval (des de #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Així, no hi ha cap punt crític al domini.

Tenint en compte això, hem de tornar als nostres punts finals i posar-los a la funció original. En fer-ho, obtenim #f (pi / 2) aproximadament 3.7124, f (3pi / 4) aproximadament 5.6544 #

Per tant, el nostre mínim absolut en el domini és aproximadament # (pi / 2, 3.7124), # i el nostre màxim és aproximadament # (3pi / 4, 5.6544) #