Resposta:
Perquè el tercer costat sigui el més curt, es requereix # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (i això # a # i # b # tenir el mateix signe).
Explicació:
El costat més llarg d’un triangle dret és sempre la hipotenusa. Així doncs, sabem que la longitud de la hipotenusa és # a ^ 2 + b ^ 2. #
Deixeu que la longitud del costat desconegut sigui # c. # A continuació, sabem des del teorema de Pitàgores
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
o bé
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (blanc) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (blanc) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (blanc) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2)
#color (blanc) c = a ^ 2-b ^ 2 #
També requerim que totes les longituds laterals siguin positives, per tant
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 o b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 o a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb #
Ara, per cap triangle, el costat més llarg haver de ser més curt que el suma dels altres dos costats. Així que tenim:
#color (blanc) (=>) 2ab + c color (blanc) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => Color 2ab (blanc) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," si b> 0), (a <b "," si b <0):}
A més, perquè el tercer costat sigui el més petit, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
o bé # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # o bé # a-b <sqrt2b # o bé #a <b (1 + sqrt2) #
Combinant totes aquestes restriccions, podem deduir que per tal que el tercer costat sigui el més curt, hem de tenir # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb i (a, b <0 o a, b> 0).
