Com es determina si la integral incorrecta convergeix o divergeix int 1 / [sqrt x] de 0 a infinit?

Resposta:

La integral divergeix.

Explicació:

Podríem utilitzar la prova de comparació per a integrals impropies, però en aquest cas la integral és tan senzilla d’avaluar que només podem calcular-la i veure si el valor està acotat.

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

Això significa que la integral divergeix.

Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {5+ (1 / n)} convergeix de n = 1 a infinit?

Sigui: a_n = 5 + 1 / n llavors per a qualsevol m, n en NN amb n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) com n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i com 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Donat qualsevol nombre real epsilon> 0, escolliu llavors un enter N> 1 / epsilon. Per a qualsevol sencer m, n> N tenim: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que demostra la condició de Cauchy per a la convergència d'una seqüència.

Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {2 ^ -n} convergeix de n = 1 a infinit?

Utilitzeu les propietats de la funció exponencial per determinar N tal com | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon per a cada m, n> N La definició de convergència indica que {a_n} convergeix si: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon doncs, donat epsilon> 0 pren N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N amb m <n Com m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n)) 0 de manera que | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Ara com 2 ^ x sempre és positiu, (1- 2 ^ (mn)) <1, de manera que 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <

Suposem, a_n és monòton i convergeix i b_n = (a_n) ^ 2. B_n convergeix necessàriament?

Sí. Sigui l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n és monòton de manera que b_n també serà monòton, i lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. És com amb funcions: si f i g tenen un límit finit en a, llavors el producte f.g tindrà un límit en a.