Què són els extrems locals de f (x) = xlnx-xe ^ x?

Resposta:

Aquesta funció no té cap extrema local.

Explicació:

#f (x) = xlnx-xe ^ x implica #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Per # x # ser un extrem local, #g (x) # ha de ser zero. Ara demostrarem que això no es produeix per a cap valor real de # x #.

Tingues en compte que

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Per tant #g ^ '(x) # desapareixerà si

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Aquesta és una equació transcendental que es pot resoldre numèricament. Des de #g ^ '(0) = + oo # i #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, l’arrel es troba entre 0 i 1. I des de llavors #g ^ {''} (0) <0 # per a tots positius # x #, aquesta és l’única arrel i correspon a un màxim de #g (x) #

És molt fàcil resoldre numèricament l’equació, i això mostra que #g (x) # té màxim a # x = 0,3152 # i el valor màxim és #g (0.3152) = -1,957 #. Des del valor màxim de #g (x) # és negatiu, no hi ha cap valor # x # una bruixa #g (x) # desapareix.

Pot ser instructiu mirar això gràficament:

gràfic {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Com podeu veure a la gràfica anterior, la funció #f (x) # realment té un màxim a # x = 0 # - però no és un màxim local. El gràfic següent ho mostra #g (x) equiv f ^ '(x) # mai no pren el valor zero.

gràfic {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}