Es deixa caure una pilota directament des d'una alçada de 12 peus. En tocar el terra, rebota 1/3 de la distància que va caure. Fins a on es desplaça la pilota (tant cap amunt com cap avall) abans de descansar?

Resposta:

La bola recorrerà 24 peus.

Explicació:

Aquest problema requereix la consideració de sèries infinites. Penseu en el comportament real de la pilota:

Primer, la pilota cau 12 peus.

A continuació, la pilota rebota #12/3 = 4# peus.

La pilota cau llavors els 4 peus.

A cada rebot successiu, la pilota viatja

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # peus, on # n # és el nombre de rebots

Per tant, si ens imaginem que la pilota comença #n = 0 #, llavors la nostra resposta es pot obtenir de la sèrie geomètrica:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Tingueu en compte el #-12# terme de correcció, això és perquè si partim de # n = 0 # comptem amb un desacord de 0 a 12 peus. En realitat, la pilota només viatja a la meitat, ja que comença a l'aire.

Podem simplificar la nostra suma a:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Aquesta és només una sèrie geomètrica senzilla, que segueix la regla que:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Sempre que # | r | <1 #

Això dóna una solució senzilla al nostre problema:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# peus.