Quina és la segona derivada de (f * g) (x) si f i g són funcions tals que f '(x) = g (x) i g' (x) = f (x)?

Resposta:

# (4f * g) (x) #

Explicació:

Deixar #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

A continuació, utilitzeu la regla del producte:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Utilitzant la condició donada a la pregunta, obtenim:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Ara utilitzeu les regles de potència i cadena:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Si apliqueu de nou la condició especial d’aquesta pregunta, escrivim:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Resposta:

Una altra resposta en cas #F g# ha de ser la composició de # f # i # g #

Explicació:

Volem trobar la segona derivada de # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Es diferencien una vegada amb la regla de la cadena.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

A continuació, es diferencia de nou utilitzant les regles de la cadena de productes

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) 2 + g (x) f '(g (x)) #