Com es divideixen (2i + 5) / (-7 i + 7) en forma trigonomètrica?

Resposta:

# 0.54 (cos (1.17) + isin (1.17)) #

Explicació:

Dividim-les en dos números complexos separats per començar, un és el numerador, # 2i + 5 #, i un el denominador, # -7i + 7 #.

Volem obtenir-los de lineals (# x + iy #) forma a trigonomètrica (#r (costheta + isintheta) # # on # theta # és l’argument i # r # és el mòdul.

Per # 2i + 5 # obtenim

#r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2) = sqrt29 #

#tantheta = 2/5 -> theta = arctan (2/5) = 0,38 "rad"

i per # -7i + 7 # obtenim

#r = sqrt ((- 7) ^ 2 + 7 ^ 2) = 7sqrt2 #

L’explicació de l’argument per al segon és més difícil, ja que ha d’estar entre #-Pi# i #Pi#. Ho sabem # -7i + 7 # ha d’estar en el quart quadrant, per la qual cosa tindrà un valor negatiu de # -pi / 2 <theta <0 #.

Això vol dir que podem resoldre-ho simplement

# -tan (theta) = 7/7 = 1 -> theta = arctan (-1) = -0,79 "rad" #

Així que ara tenim el complex nombre total de

# (2i + 5) / (- 7i + 7) = (sqrt29 (cos (0.38) + isin (0.38)) / (7sqrt2 (cos (-0.79) + isin (-0.79)) #

Sabem que quan tenim formes trigonomètriques, dividim els mòduls i restem els arguments, de manera que acabem amb

#z = (sqrt29 / (7sqrt2)) (cos (0,38 + 0,79) + isin (0,38 + 0,79))

# = 0,54 (cos (1,17) + isin (1,17)) #