Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Podries solucionar això?

Resposta:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Explicació:

Tenim:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sxxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Deixar #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Ho veiem #u = -1 # és un factor. Utilitzem la divisió sintètica

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

L'equació # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # es pot resoldre utilitzant la fórmula quadràtica.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 o -0.309 #

Des de #cosx = u #, obtenim #x = pi / 5, (3pi) / 5 # i #Pi#.

On? # n # és un nombre enter.

El gràfic de # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # i # y_2 = cos (3x) # confirma que les solucions són els punts d’intersecció.

Esperem que això ajudi!

Resposta:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Explicació:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, o

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

El cercle unitari i la propietat de cos, donen ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2 kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2 kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Si k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Si k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Si k = 0 -> #x = - pi / 5 #, o #x = (9pi) / 5 # (co-terminal)

Si k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

En l’interval tancat 0, 2pi, les respostes són:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Comproveu la calculadora.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Provat

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Provat

Resposta:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Explicació:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0

Qualsevol #cos ((5x) / 2) = 0

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Resposta:

La solució general no requereix la fórmula de triple angle, i és

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # o bé # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

per a sencer # k #.

Explicació:

No m'agrada llegir les respostes d'altres persones abans de resoldre una pregunta jo mateix. Però va aparèixer una resposta destacada per a aquesta. Durant la meva ràpida mirada, no puc notar que semblava bastant complicat pel que em sembla una pregunta relativament fàcil. Vaig a donar-li un tret.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

He estat a Socratic per un parell de setmanes, i això s’està desenvolupant com a tema: la solució general a #cos x = cos a # és #x = pm a + 360 ^ circ. quad quàdruple per a sencer # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Prenem els signes per separat. Primer més:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Menys a continuació.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Si llegiu aquests detalls, podria pensar que estic fent un error amb la manera com manipulo # k #. Però des de llavors # k # rangs sobre tots els enters, substitucions com #k a -k # i #k a k + 1 # s’admeten i em pego per guardar els rètols #+# quan poden ser.

Comproveu:

Escollim una parella per comprovar-la. Sóc prou geek per saber-ho #cos 36 ^ circ # és la meitat de la proporció d'or, però no vaig a treballar amb exactitud, només heu de fer-los aparèixer a Wolfram Alpha per assegurar-vos-ho.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #