Se sap que l’equació bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 té una arrel real. Demostrar que l’equació x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 no té arrels reals.?

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Les arrels per a # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 són

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Les arrels seran coincidents i reals si

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0

o bé

# a = b # o bé #a = 5b #

Ara solucionant

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tenim

#x = 1/2 (-a + bpm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

La condició de les arrels complexes és

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

ara fent #a = b # o bé #a = 5b # tenim

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Conclusió, si # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 llavors té arrels reals coincidents # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tindrà arrels complexes.

Es dóna l’equació:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0

té una arrel real, per tant el discriminant d’aquesta equació és zero:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0

#:. a = b #, o # a = 5b #

Busquem mostrar l’equació:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0

no té arrels reals. Això requeriria un discriminant negatiu. El discriminant d'aquesta equació és:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

I ara considerem els dos casos possibles que satisfan la primera equació:

Cas 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

= (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

0

Cas 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

= (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

0

Per tant, les condicions de la primera equació són tals que la segona equació sempre té un discriminant negatiu i, per tant, té arrels complexes (és a dir, sense arrels reals), QED