Quins són els símptomes i els forats, si n'hi ha, de f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Resposta:

#f (x) # té una asíntota vertical a # x = -1 #, un forat a # x = 1 # i una asíntota horitzontal # y = 0 #. No té asimptotes obliques.

Explicació:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (blanc) (f (x)) = color (vermell) (cancel·lar (color (negre) ((x-1))) / / (color (vermell) (cancel·lar (color (negre) ((x-1))))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (blanc) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

amb exclusió #x! = - 1 #

Tingues en compte que # x ^ 2 + 1> 0 # per a qualsevol valor real de # x #

Quan # x = -1 # el denominador és zero i el numerador no és zero. Tan #f (x) # té una asíntota vertical a # x = -1 #

Quan # x = 1 # tant el numerador com el denominador de l’expressió que defineix #f (x) # són zero, però l’expressió simplificada està ben definida i contínua a # x = 1 #. Així que hi ha un forat a # x = 1 #.

Com #x -> + - oo # el denominador de l’expressió simplificada # -> oo #, mentre que el numerador és constant #1#. Per tant, la funció tendeix a #0# i té una asíntota horitzontal # y = 0 #

#f (x) # no té asimptotes obliques (a.k.a. inclinades). Perquè una funció racional tingui una asíntota obliqua, el numerador ha de tenir un grau exactament un més que el denominador.

gràfic {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}