Sigui f (x) = x-1. 1) Verifiqueu que f (x) no és ni parell ni estrany. 2) Es pot escriure f (x) com la suma d'una funció par i una funció estranya? a) Si és així, presenteu una solució. Hi ha més solucions? b) Si no, demostrar que és impossible.

Deixar #f (x) = | x -1 |.

Si f eren parells, llavors #f (-x) # igualaria #f (x) # per a tots els x.

Si f era estrany, llavors #f (-x) # igualaria # -f (x) # per a tots els x.

Observeu que per x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Com que 0 no és igual a 2 o a -2, f no és ni parell ni senar.

Es podria escriure com #g (x) + h (x) #, on g és parell i h és senar?

Si fos així, llavors #g (x) + h (x) = | x - 1 |. Truca a aquesta declaració 1.

Substituïu x per -x.

#g (-x) + h (-x) = -x - 1 | #

Com que g és parell i h és estrany, tenim:

#g (x) - h (x) = -x - 1 | # Truca a aquesta declaració 2.

Posant les declaracions 1 i 2 junts, ho veiem

#g (x) + h (x) = | x - 1 |

#g (x) - h (x) = -x - 1 | #

AFEGEU AQUESTES PER obtenir

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Això és, de fet, fins i tot des de llavors #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

De la declaració 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 |

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 |

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Això és realment estrany, des de llavors

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.