Quin és el rang de y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

En primer lloc, considerem el domini:

Per quins valors de # x # es defineix la funció?

El numerador # (1-x) ^ (1/2) # només es defineix quan # (1-x)> = 0. S'està afegint # x # a tots dos costats d’aquest lloc #x <= 1 #.

També es requereix que el denominador sigui diferent de zero.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # és zero quan #x = -1 / 2 # i quan #x = -1 #.

Així, el domini de la funció és

# {x en RR: x <= 1 i x! = -1 i x! = -1/2} #

Definiu #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # en aquest domini.

Considerem cada interval continu del domini per separat:

En cada cas, anem #epsilon> 0 # ser un petit nombre positiu.

Cas (a): #x <-1 #

Per a grans valors negatius de # x #, #f (x) # és petit i positiu.

A l’altre extrem d’aquest interval, si #x = -1 - epsilon # llavors

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # com #epsilon -> 0 #

Per tant, per #x <-1 # el rang de #f (x) # és # (0, + oo) #

Cas (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # com #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Per tant, per # -1 / 2 <x <= 1 # el rang de #f (x) # és # 0, + oo) #

Cas (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # com #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # com #epsilon -> 0 #

Així, la pregunta interessant és quin és el valor màxim de #f (x) # en aquest interval. Per trobar el valor de # x # per a això es produeix buscar la derivada com a zero.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Aquest serà zero quan el numerador sigui zero, així que volem resoldre:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0

Multiplicar per # 2 (1-x) ^ (1/2) # aconseguir:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0

Això és:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

que té arrels # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

D'aquestes arrels, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # cau en l’interval corresponent.

Substituïu-ho de nou #f (x) # per trobar el màxim de #f (x) en aquest interval (aproximadament -10).

Això em sembla complex. He fet algun error?

Resposta: El rang de la funció és # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Per #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Per #x a (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58 #

Per #x a (-0,5, 1) # #-># #y a 0, oo) #