Quina és la solució general de l'equació diferencial y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "L'equació característica és:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disc del quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "per tant, tenim dues solucions complexes, són" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Per tant, la solució general de l’equació homogènia és:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "La solució particular de l'equació completa és" #

# "y = x", #

# "Això és fàcil de veure." #

# "Per tant, la solució completa és:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Resposta:

# y = A + i ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Explicació:

Tenim:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

O, alternativament:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Això és un tercer Ordena equacions de diferenciació lineals no homogènies amb coeficients constants. L’enfocament estàndard és trobar una solució, # y_c # de l’equació homogènia mirant l’equació auxiliar, que és l’equació polinòmica amb els coeficients de les derivades., i després trobant una solució particular independent, # y_p # de l’equació no homogènia.

Les arrels de l’equació auxiliar determinen parts de la solució, que si són linealment independents llavors la superposició de les solucions forma la solució general completa.

• Arrels ben diferenciades # m = alfa, beta, … # donarà solucions linealment independents del formulari # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Arrels reals repetides # m = alfa #, donarà una solució al formulari # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # on el polinomi té el mateix grau que la repetició.
• Arrels complexes (que han de tenir lloc com a parells conjugats) # m = p + -qi # es produiran un parell de solucions lineals independents de la forma # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Solució particular

Per trobar una solució particular de l’equació no homogènia:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) amb #f (x) = 4 # ….. C

llavors com #f (x) # és un polinomi de grau #0#, buscaríem una solució polinòmica del mateix grau, és a dir, de la forma #y = a #

Tanmateix, aquesta solució ja existeix a la solució CF i, per tant, ha de considerar una solució potencial del formulari # y = ax #, On les constants # a # s’ha de determinar mitjançant la substitució directa i la comparació:

Diferenciar # y = ax # wrt # x # obtenim:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Substituint aquests resultats al DE A obtenim:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1

I així formem la solució particular:

# y_p = x #

Solució general

El que després condueix a la GS de A

# y (x) = y_c + y_p #

# A + i ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Tingueu en compte que aquesta solució té #3# constants d’integració i #3# solucions linealment independents, per tant, pel teorema de l'existència i la singularitat, la seva superposició és la solució general