Resposta:
No hi ha solucions a # RR #.
Explicació:
En primer lloc, simplifiquem una mica:
Com # e ^ x # i #ln (x) # són funcions inverses, # e ^ ln (x) = x # manté tan bé com #ln (i ^ x) = x #. Això significa que podeu simplificar el vostre tercer terme logarítmic:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
El vostre proper objectiu és portar tots els elements #registre# funcions a la mateixa base de manera que tingueu l’oportunitat d’utilitzar les regles del logaritme i simplificar-les.
Podeu canviar la base del logaritme de la següent manera:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Utilitzem aquesta regla per canviar la base #8# de # log_8 # i la base #32# de # log_32 # a base #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ara, podem calcular # log_2 (8) = 3 # i # log_2 (32) = 5 #
(per si no és clar, deixeu-me trencar per estar segur: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Això ens porta a la següent equació logarítmica més simple:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… multipliqueu ambdues parts #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Ara estem preparats per utilitzar les regles del logaritme:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (i) # i #log_a (x ^ i) = y * log_a (x) #
L'objectiu és tenir-ne un #registre# terme al costat esquerre. Fem-ho.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
En aquest punt, podem desfer-nos de la # log_2 (a) # aplicant la funció inversa # 2 ^ a # a tots dos costats de l'equació.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Malauradament, he d’admetre que estic atrapat en aquest moment ja que no sé com resoldre aquesta equació.
No obstant això, traçar #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # em diu que aquesta equació no té solucions # RR #.
gràfic {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Espero que això ajudés una mica!
