Obteniu un polinomi quadràtic amb les condicions següents: 1. la suma de zeros = 1/3, el producte de zeros = 1/2

Resposta:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Explicació:

La fórmula quadràtica és #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Suma de dues arrels:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# -b / a = 1/3 #

# b = -a / 3 #

Producte de dues arrels:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# c / a = 1/2 #

# c = a / 2 #

Tenim # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Prova:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# x = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2

Resposta:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Explicació:

Si tenim una equació quadràtica general:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

I denotem l’arrel de l’equació per # alfa # i # beta #, doncs, també tenim:

# (x-alfa) (x-beta) = 0 iff x ^ 2 - (alpha + beta) x + alpha beta = 0 #

El que ens proporciona les propietats ben estudiades:

# {: ("suma de les arrels", = alfa + beta, = -b / a), ("producte de les arrels", = alfa beta, = c / a):}

Així tenim:

# {: (alpha + beta, = -b / a, = 1/3), (alpha beta, = c / a, = 1/2):}

Així l’equació buscada és:

# x ^ 2 - "(suma de les arrels)" x + "(producte de les arrels)" = 0 #

és a dir:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

I (opcionalment), per eliminar els coeficients fraccionals, es multiplica per #6# donar:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #