Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (3 pi) / 8 i pi / 6. Si un costat del triangle té una longitud d’1, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Resposta:

El perímetre més llarg possible és aproximadament #4.8307#.

Explicació:

En primer lloc, trobem l’angle restant, usant el fet que els angles del triangle s’afegeixen #Pi#:

Per #triangle ABC #:

Deixar #angle A = (3pi) / 8 #

Deixar #angle B = pi / 6 #

Llavors

#angle C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (blanc) (angle C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (blanc) (angle C) = (11pi) / 24 #

Per a qualsevol triangle, el costat més curt sempre és contrari a l'angle més petit. (El mateix passa amb el costat més llarg i el major angle)

Per maximitzar el perímetre, la longitud de costat coneguda hauria de ser la més petita. Així doncs, des de llavors #angle B # és el més petit (a # pi / 6 #), vam establir # b = 1 #.

Ara podem utilitzar la llei sinusoïdal per calcular les dues parts restants:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b vegades (sinA) / (sinB) #

#color (blanc) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (blanc) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

S'utilitza una fórmula similar per mostrar #c ~~ 1.9829 #.

Afegint aquests tres valors (de # a #, # b #, i # c #) junts produiran el perímetre més llarg possible per a un triangle com el descrit:

# P = "" a "" + b + "c #

#color (blanc) P ~~ 1.8478 + 1 + 1.9829 #

#color (blanc) P = 4.8307 #

(Com que es tracta d’una pregunta de geometria, és possible que se us demani que proporcioneu la resposta amb la forma exacta, amb radicals. Això és possible, però una mica tediosa pel bé d’una resposta aquí, per això he donat la meva resposta com a valor decimal aproximat.)

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 12, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

El perímetre més llarg possible és de 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Com dos angles són (2pi) / 3 i pi / 4, el tercer angle és pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Per al costat més llarg del perímetre de la longitud 12, diguem a, ha de ser l’angle més petit oposat pi / 12 i després utilitzar la fórmula sine amb altres dos costats serà 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Per tant, b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 i c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Pe

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 4, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

P_max = 28,31 unitats. El problema us dóna dos dels tres angles en un triangle arbitrari. Atès que la suma dels angles en un triangle ha de sumar fins a 180 graus, o pi radians, podem trobar el tercer angle: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 dibuixem el triangle: el problema indica que un dels costats del triangle té una longitud de 4, però no especifica quin costat. No obstant això, en qualsevol triangle donat, és cert que el costat més petit serà oposat des de l'angle més petit. Si volem maximitzar el

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 19, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Color del perímetre més llarg possible (verd) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Tres ángulos són (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12, ja que els tres angles s'afegeixen a pi ^ c el costat 19 ha de correspondre a l'angle més petit pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51,909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Color del perímetre més llarg possible (verd) (P = 19 + 51,90 + 63,5752 = 13,44842 )