Com es demostra arcsin x + arccos x = pi / 2?

Resposta:

com es mostra

Explicació:

Deixar

# arcsinx = theta #

llavors

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Resposta:

La declaració és certa quan les funcions de derivació inversa es refereixen als valors principals, però això requereix una atenció més detallada per mostrar que l’altra resposta.

Quan es consideren funcions de trigonometria inversa multivalència, obtenim un resultat més matisat, per exemple

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # però #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Hem de restar per aconseguir-ho # pi / 2 #.

Explicació:

Aquest és més complicat del que sembla. L’altra resposta no li paga el respecte adequat.

Una convenció general és utilitzar la lletra petita #arccos (x) # i #arcsin (x) # com a expressions multivalores, cadascuna indicant tots els valors del qual el cosinus o el sinus tenen un valor donat # x #.

El significat de la suma d’aquests és realment totes les combinacions possibles, i les que no sempre donen # pi / 2. # Ni tan sols donaran un dels angles coterminals pi / 2 + 2pi k quad # enter # k #, com ara es mostrarà.

Anem a veure com funciona primer amb les funcions de trames inverses multivalores. Recordeu en general # cos x = cos a # té solucions # x = pm a + 2pi quad quad. enter # k #.

# c = arccos x # realment vol dir

#x = cos c #

#s = arcsin x # realment vol dir

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # està jugant el paper d’un veritable paràmetre que arrossega #-1# a #1#. Volem solucionar-ho # y #, trobar tots els valors possibles de # y # que tenen una #x, s # i # c # que fa aquestes equacions simultànies #x = cos c, x = sin s, y = s + c # veritat.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Utilitzem la nostra solució general sobre la igualtat de cosinus.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad enter # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Així doncs, obtenim el resultat molt més nebulós, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(És permès capgir el signe # k. #)

Ens centrarem ara en els valors principals, que escric amb lletres majúscules:

Espectacle #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

La declaració és certament certa per als valors principals definits de la manera habitual.

La suma només es defineix (fins que arribem a un nombre molt complex) # -1 le x le 1 # perquè els sinus i els cosinus vàlids estan en aquest rang.

Mirarem a cada costat de l’equivalent

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

Prenem el cosinus dels dos costats.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (text {Arc} text {sin} (x)) = x #

Per tant, sense preocupar-se per signes ni els principals valors estem segurs

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) #

La part difícil, la part que mereix respecte, és el següent pas:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # NO ASSEGURREU AIX

Hem de trepitjar amb cura. Prenguem el positiu i el negatiu # x # per separat.

Primer # 0 le x le 1 #. Això vol dir que els valors principals de les dues funcions trigonometries inverses es troben en el primer quadrant, entre #0# i # pi / 2. # Restringits al primer quadrant, els cosinus iguals impliquen angles iguals, per la qual cosa conclouem #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Ara # -1 le x <0. # El valor principal del signe invers és en el quart quadrant, i per a #x <0 # Normalment definim el valor principal del rang

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

El valor principal del cosinus invers negatiu és el segon quadrant, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Així doncs, tenim dos angles en el segon quadrant els cosinus són iguals, i podem concloure que els angles són iguals. Per #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Així que de qualsevol manera, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #