És el nombre real de sqrt21, el nombre racional, el nombre sencer, l’enter, el nombre irracional?

Resposta:

És un nombre irracional i, per tant, real.

Explicació:

Anem a provar això primer #sqrt (21) # és un nombre real, de fet, l’arrel quadrada de tots els nombres reals positius és real. Si # x # és un nombre real, llavors definim per als nombres positius #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Això vol dir que mirem tots els nombres reals # y # de tal manera que # y ^ 2 <= x # i prenem el nombre real més petit que sigui més gran que tots ells # y #s, l'anomenat suprem. Per a números negatius, aquests # y #no existeix, ja que per a tots els nombres reals, prendre el quadrat d’aquest nombre resulta en un nombre positiu i tots els números positius són més grans que els números negatius.

Per a tots els números positius, sempre hi ha alguns # y # que s’adapti a la condició # y ^ 2 <= x #, és a dir #0#. A més, hi ha un límit superior per a aquests números, és a dir # x + 1 #, ja que si # 0 <= i <1 #, llavors # x + 1> y #, si #y> = 1 #, llavors #y <= y ^ 2 <= x #, tan # x + 1> y #. Podem demostrar que per a cada conjunt limitat de nombres reals no buits, sempre hi ha un nombre real únic que actua com a suprem, a causa de l’anomenada integritat de # RR #. Així, per a tots els números reals positius # x # hi ha una realitat #sqrt (x) #. També podem demostrar que en aquest cas #sqrt (x) ^ 2 = x #, però si no vols que ho faci, no ho demostraré aquí. Finalment, ho notem #sqrt (x)> = 0 #, des de #0# és un nombre que s’adapta a la condició, com s’ha indicat anteriorment.

Ara per la irracionalitat de #sqrt (21) #. Si no fos irracional (tan racional), podríem escriure-ho com #sqrt (21) = a / b # amb # a # i # b # nombres sencers i # a / b # simplificada tant com sigui possible, és a dir # a # i # b # no tenen cap divisor comú, tret de #1#. Ara això significa que # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Ara utilitzem alguna cosa anomenada factorització prima dels nombres naturals. Això vol dir que podem anotar cada nombre sencer positiu com a producte únic dels nombres primers. Per #21# això és #3*7# i per # a # i # b # aquest és un producte arbitrari de primers # a = a_1 * … * a_n # i # b = b_1 * … * b_m #. El fet que l’únic divisor comú de # a # i # b # és #1# és equivalent al fet que # a # i # b # no comparteix números primers en la seva factorització, així que hi ha # a_i # i # b_j # de tal manera que # a_i = b_j #. Això significa que # a ^ 2 # i # b ^ 2 # tampoc no compartiu cap nombres primers # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # i # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., per tant, l'únic divisor comú de # a ^ 2 # i # b ^ 2 # és #1#. Des de # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, això vol dir # b ^ 2 = 1 #, tan # b = 1 #. Per tant #sqrt (21) = un #. Tingueu en compte que això només s’aplica que #sqrt (21) # és racional.

Ara, per descomptat, podem recórrer tots els números positius sencers més petits que #21# i comproveu si el quadrat els dóna #21#, però aquest és un mètode avorrit. Per fer-ho d'una manera més interessant, tornem als nostres nombres primers. Ho sabem # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # i #21=3*7#, tan # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. A la part esquerra, cada primer apareix només una vegada, a la mà dreta, cada primer es produeix almenys dues vegades i sempre una quantitat parell de vegades (si # a_1 = a_n # per instaci es produiria almenys quatre vegades). Però, com hem dit, aquestes factoritzacions primeres són úniques, de manera que això no pot ser correcte. Per tant # 21nea ^ 2 #, tan #anesqrt (21) #, el que significa que la nostra assumpció anterior de #sqrt (21) # ser racional resulta, per tant, equivocat #sqrt (21) # és irracional.

Tingueu en compte que el mateix argument es manté per a qualsevol nombre sencer positiu # x # amb una factorització prima on un dels nombres primers apareix un nombre desigual de vegades, ja que el quadrat d'un nombre sencer sempre té tots els seus factors primers que apareixen una quantitat parell de vegades. D'això conclouem que si # x # és un nombre sencer positiu (#x inNN #) té un factor primordial que només es produeix una quantitat irregular de vegades, #sqrt (x) # serà irracional.

Sóc conscient que aquesta prova pot semblar una mica llarga, però utilitza conceptes importants de la matemàtica. Probablement en qualsevol pla d'estudis de secundària, aquest tipus de raonaments no estan inclosos (no estic 100% segur, no conec el currículum de cada escola secundària al món), però per als matemàtics reals, provar coses és un dels activitats més importants que fan. Per tant, volia mostrar-li quin tipus de matemàtiques està darrere de l’arrel quadrada de les coses. El que cal treure d’aquest fet, és cert #sqrt (21) # és un nombre irracional.