Quins són els punts d'extrem i de selle de f (x, y) = xy (1-x-y)?

Resposta:

Els punts #(0,0),(1,0)#, i #(0,1)# són punts de selle. El punt #(1/3,1/3)# és un punt màxim local.

Explicació:

Podem ampliar # f # a #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. A continuació, busqueu les derivades parcials i establiu-les igual a zero.

# frac {parcial f} {parcial x} = y-2xy-i ^ 2 = y (1-2x-i) = 0 #

# frac {parcial f} {parcial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Clarament, # (x, y) = (0,0), (1,0), # i #(0,1)# són solucions a aquest sistema, i també són punts crítics de # f #. L’altra solució es pot trobar al sistema # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Resoldre la primera equació de # y # en termes de # x # dóna # y = 1-2x #, que es pot connectar a la segona equació per aconseguir-ho # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. A partir d'això, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # també.

Per provar la naturalesa d'aquests punts crítics, trobem les derivades segones:

# frac {parcial ^ {2} f} {parcial x ^ {2}} = - 2y #, # frac {parcial ^ {2} f} {parcial y ^ {2}} = - 2x #, i # frac {parcial ^ {2} f} {parcial x x parcial} = frac {parcial ^ {2} f} {parcial i · parcial x} = 1-2x-2y #.

Per tant, el discriminant:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Connexió dels tres primers punts crítics a dóna:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, i #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, fent que aquests punts sella punts.

Connecteu l’últim punt crític #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Tingueu en compte també això # frac {parcial ^ {2} f} {parcial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Per tant, #(1/3,1/3)# és una ubicació d’un valor màxim local de # f #. Podeu comprovar que el valor màxim local és el mateix #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

A continuació es mostra una imatge del mapa de contorn (de les corbes de nivell) de # f # (les corbes on es produeix # f # és constant), juntament amb els 4 punts crítics de # f #.