Quins són els punts d'extrem i de selle de f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Resposta:

Punt de muntar a l'origen.

Explicació:

Tenim:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

I així derivem les derivades parcials. Recordeu que quan es diferencien parcialment es diferencien la variable en qüestió mentre es tracta de les altres variables com a constants. I així:

# (parcial f) / (parcial x) = 2xy-i ^ 2 i (parcial f) / (parcial i) = x ^ 2-2x #

En un punt d’extrem o muntatge tenim:

# (parcial f) / (parcial x) = 0 i (parcial f) / (parcial i) = 0 simultàniament:

és a dir, una solució simultània de:

# 2xy-i ^ 2 = 0 => y (2x-i) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Per tant, només hi ha un punt crític a l’origen #(0,0)#. Per establir la naturalesa del punt crític, calen els analistes de la sèrie Taylor de diverses variables i els resultats de les proves següents:

# Delta = (parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2 f) / (parcial i ^ 2) - {(parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial)} ^ 2 <0 => # punt de muntar

Per tant, calculem les segones derivades parcials:

# (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = 2y;(parcial ^ 2f) / (parcial i ^ 2) = -2x i (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial) = 2x-2y #

I així, quan # x = 0, y = 0 # obtenim:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

El que significa que la prova estàndard de selle és inclusiva i cal fer una anàlisi posterior. (Això normalment implicaria mirar els signes de la funció a través de diverses franges, o mirar la tercera prova de derivació parcial que no depèn de l’abast d’aquesta pregunta!).

També podem mirar el diagrama en 3D i concloure ràpidament que el punt crític sembla correspondre a un punt de muntatge: