Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (3 pi) / 8 i pi / 8. Si un costat del triangle té una longitud de 3, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Primer, observem que si hi ha dos angles # alpha = pi / 8 # i # beta = (3pi) / 8 #, ja que la suma dels angles interns d’un triangle és sempre #Pi# el tercer angle és: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2, per tant, aquest és un triangle dret.

Per maximitzar el perímetre, el costat conegut ha de ser el catet més curt, de manera que serà oposat a l’angle més petit, que és # alfa #.

La hipotenusa del triangle serà llavors:

# c = a / sin alpha = 3 / sin (pi / 8) #

on #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

mentre l’altre catet és:

#b = a / tan (pi / 8) #

on #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2))

Finalment:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 12, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

El perímetre més llarg possible és de 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Com dos angles són (2pi) / 3 i pi / 4, el tercer angle és pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Per al costat més llarg del perímetre de la longitud 12, diguem a, ha de ser l’angle més petit oposat pi / 12 i després utilitzar la fórmula sine amb altres dos costats serà 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Per tant, b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 i c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Pe

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 4, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

P_max = 28,31 unitats. El problema us dóna dos dels tres angles en un triangle arbitrari. Atès que la suma dels angles en un triangle ha de sumar fins a 180 graus, o pi radians, podem trobar el tercer angle: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 dibuixem el triangle: el problema indica que un dels costats del triangle té una longitud de 4, però no especifica quin costat. No obstant això, en qualsevol triangle donat, és cert que el costat més petit serà oposat des de l'angle més petit. Si volem maximitzar el

Dues cantonades d'un triangle tenen angles de (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Si un costat del triangle té una longitud de 19, quin és el perímetre més llarg possible del triangle?

Color del perímetre més llarg possible (verd) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Tres ángulos són (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12, ja que els tres angles s'afegeixen a pi ^ c el costat 19 ha de correspondre a l'angle més petit pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51,909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Color del perímetre més llarg possible (verd) (P = 19 + 51,90 + 63,5752 = 13,44842 )