Quina és la importància de la derivada parcial? Doneu un exemple i ajudeu-me a entendre breument.

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Espero que ajudi.

La derivada parcial està intrínsecament associada a la variació total.

Suposem que tenim una funció #f (x, y) # i volem saber quant varia en introduir un increment a cada variable.

Fixació d'idees, elaboració #f (x, y) = k x y # volem saber quant és

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

En el nostre exemple-funció tenim

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y k x dx + k i dy + k dx dy #

i llavors

#df (x, y) = k x y + k x dx + ky dy + k dx dy-k x y = k x dx + ky dy + k dx dy #

Escollir #dx, dy # llavors arbitràriament petit #dx dy aprox 0 # i llavors

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

però en general

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) =

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx), y)) / dy dy #

ara fent #dx, dy # arbitràriament petits tenim

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

de manera que podem calcular la variació total d’una funció determinada, calculant les derivades parcials #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # i la composició

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Aquí, les quantitats #f_ (x_i) # es diuen derivades parcials i també es poden representar com

# (parcial f) / (parcial x_i) #

En el nostre exemple

#f_x = (parcial f) / (parcial x) = k x # i

#f_y = (parcial f) / (parcial i) = k

NOTA

#f_x (x, y) = lim_ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim_ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim_ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim_ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Per complementar la resposta de Cesareo, proporcionaré una definició introductòria menys rigorosa matemàticament.

La derivada parcial, que no parla gaire, ens indica quant canviarà una funció multi-variable quan es mantenen constants altres variables. Per exemple, suposem que se'ns donen

#U (A, t) = A ^ 2t

On? # U # és la funció d’utilitat (felicitat) d’un producte en particular, # A # és la quantitat de producte i # t # és l’hora d’utilitzar el producte.

Suposeu que l’empresa que fabrica el producte voldria saber quina utilitat poden obtenir-ne si augmenten la vida útil del producte en 1 unitat. La derivada parcial indicarà a l'empresa aquest valor.

La derivada parcial es denota generalment amb la lletra en minúscula delta del grec (# parcial #), però hi ha altres notacions. Usarem # parcial # per ara.

Si estem tractant de trobar quant canvia la utilitat del producte amb un augment d’una unitat de temps, calculem la derivada parcial d’utilitat pel que fa al temps:

# (parcialU) / (parcial) #

Per calcular la PD, mantenim altres variables constants. En aquest cas, tractem # A ^ 2 #, l’altra variable, com si fos un nombre. Recordem del càlcul introductori que la derivada d’una constant a una variable és només la constant. És la mateixa idea aquí: la derivada (parcial) de # A ^ 2 #, una constant, vegades # t #, la variable, és només la constant:

# (parcialU) / (parcial) = A ^ 2

Així, un augment d’una unitat en el temps que s’utilitza el producte # A ^ 2 # més utilitat. En altres paraules, el producte es torna més satisfactori si es pot utilitzar amb més freqüència.

Hi ha molt, molt més per dir sobre les derivades parcials: de fet, es poden dedicar a cursar estudis universitaris i de postgrau només uns pocs tipus d'equacions que impliquen derivades parcials, però la idea bàsica és que la derivada parcial ens explica quant la variable canvia quan els altres continuen sent els mateixos.