Com es pot trobar la distància entre el punt A (3, -5,5) i la línia x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t?

Resposta:

# 5 / sqrt6 #

hi ha una equació

# x + 2y + z-3 = 0 #

utilitzar la fórmula de distància

=# ((1 * 3-5 * 2 + 5 * 1) -3) / sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) #

=# -5 / sqrt6 #

#abs (-5 / sqrt6) #

=# 5 / sqrt6 #

#sqrt 83/2 #

Definició

# p_0 = {2,1, -1} #

#vec v = {3, -2,1} #

# p_A = {3, -5,5} #

hem de determinar la distància entre la línia

# r-> p_0 + t vec v # i el punt # p_A #

Utilitzem Pitagoras

#a = norma (p_a-p_0) #

#b = abs (<< p_A-p_0, (vec v) / norma (vec v) >>) #

#d = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) # que és la distància desitjada

#a = sqrt ((3-2) ^ 2 + (- 5-1) ^ 2 + (5 + 1) ^ 2 #

# (vec v) / norma (vec v) = ({3, -2,1}) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1) #

#b = abs (((3-2) cdot 3+ (5 + 1) cdot 2+ (5 + 1) cdot 1) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1)) #

Finalment

#d = sqrt 83/2 #

#sqrt (83/2). #

Trobem els ordres. del peu # M # de la perpètua. de #A (3, -5,5) # a la línia donada #L: x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t, t en RR #

Prenem nota que des de llavors #M en L, M (2 + 3t, 1-2t, -1 + t) per a alguns #t en RR. #

També #A (3, -5,5) rArr vec (AM) = (2 + 3t-3,1-2t + 5, -1 + t-5) = (3t-1,6-2t, t-6) #

El vector de direcció # vecl # de línia # L # és # vecl = (3, -2,1) #

Saber això #vec (AM) # és perp. a # vecl #, tenim, #vec (AM).vecl = 0 rArr (3t-1,6-2t, t-6). (3, -2,1) = 0 #

#:. 3 (3t-1) -2 (6-2t) + (t-6) = 0 #

#:. 9t-3-12 + 4t + t-6 = 0 #

#:. 14t = 21 rArr t = 3/2 rArr vec (AM) = (9 / 2-1,6-3,3 / 2-6) = (7 / 2,3, -9 / 2) #

D'aquí la Dist. # AM = || vec (AM) || = sqrt {49/4 + 9 + 81/4) = sqrt (166/4) = sqrt (83/2), # com es deriva de Cesareo R. Senyor!

Gaudeix de les matemàtiques. i difon la alegria!