Resposta:
Explicació:
En primer lloc, hauríem de començar amb una equació que sabem relacionant l’àrea d’un cercle, la piscina i el seu radi:
# A = pir ^ 2 #
No obstant això, volem veure amb quina rapidesa augmenta la zona de la piscina, que sona molt com la taxa … que sona molt com un derivat.
Si prenem la derivada de
# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #
(No oblideu que la regla de la cadena s'aplica a la part dreta, amb
Per tant, volem determinar
# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi
Per posar això en paraules, diem que:
L'àrea de la piscina està augmentant a un ritme de
# bb40pi # cm# "" ^ bb2 # / min quan el radi del cercle és# bb5 # cm.
L’altitud d’un triangle augmenta a una velocitat d’1,5 cm / min mentre l’àrea del triangle augmenta a una velocitat de 5 cm2 / min. A quina velocitat canvia la base del triangle quan l’altitud és de 9 cm i la superfície és de 81 cm quadrats?
Aquest és un problema relacionat amb el tipus de canvi (de canvi). Les variables d’interès són a = altitud A = àrea i, atès que l’àrea d’un triangle és A = 1 / 2ba, necessitem b = base. Les taxes de canvi donades són en unitats per minut, de manera que la variable independent (invisible) és t = temps en minuts. Ens donen: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min I se'ns demana que trobem (db) / dt quan a = 9 cm i A = 81 cm ^ 2 A = 1 / 2ba, diferenciat respecte a t, obtenim: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Necessitarem la regla del producte a la dreta.
L’aigua surt d’un dipòsit cònic invertit a una velocitat de 10.000 cm3 / min al mateix temps que l’aigua es bomba al dipòsit a un ritme constant. Si el dipòsit té una alçada de 6 mi el diàmetre a la part superior és de 4 mi si el nivell de l'aigua augmenta a una velocitat de 20 cm / min quan l'alçada de l'aigua és de 2 m, com es troba la velocitat amb què es bomba aigua al tanc?
Sigui V el volum d’aigua del dipòsit, en cm ^ 3; sigui h la profunditat / alçada de l’aigua, en cm; i sigui r el radi de la superfície de l'aigua (a la part superior), en cm. Atès que el tanc és un con invertit, també ho és la massa d’aigua. Atès que el dipòsit té una alçada de 6 mi un radi a la part superior de 2 m, els triangles similars impliquen que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 de manera que h = 3r. El volum del con invertit de l’aigua és llavors V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Diferenciï ara tots dos costats respecte al temps t (en min
El vessament d’oli a partir d’un tanc tancat s’estén en un cercle a la superfície de l’oceà. L'àrea del vessament augmenta a una velocitat de 9π m² / min. Què tan ràpid és que el radi del vessament augmenta quan el radi és de 10 m?
Dr | _ (r = 10) = 0.45m // min. Atès que l'àrea d’un cercle és A = pi r ^ 2, podem obtenir el diferencial de cada costat per obtenir: dA = 2pirdr Per tant, el radi canvia a la velocitat dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Per tant, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min.