Quina és la resta de p 12 ^ (p-1), quan p és primer?

Resposta:

La resta és igual a #0# Quan # p # tampoc #2# o bé #3#, i és igual a #1# per a tots els altres nombres primers.

Explicació:

En primer lloc, aquest problema es pot reafirmar com a haver de trobar el valor de # 12 ^ (p-1) mod p # on # p # és un nombre primer.

Per solucionar aquest problema, cal conèixer el teorema d'Euler. El teorema d'Euler ho indica #a ^ {varphi (n)} - = 1 mod n # per a qualsevol nombre enter # a # i # n # això és coprime (no comparteixen cap factor). Potser us preguntareu què # varphi (n) # és. Aquesta és en realitat una funció coneguda com la funció totient. Es defineix com a igual al nombre d'enters # <= n # tals que aquests enters són coprime # n #. Tingueu en compte que el número #1# es considera coprime a tots els enters.

Ara que coneixem el teorema d'Euler, podem solucionar aquest problema.

Tingueu en compte que tots els nombres primers que no siguin #2# i #3# hi ha coprime #12#. Anem a un costat 2 i 3 per a més tard i ens centrarem en la resta de nombres primers. Atès que aquests altres nombres primers són coprimus a 12, podem aplicar-los al teorema d'Euler:

# 12 ^ {varphi (p)} - = 1 mod p #

Des de # p # és un nombre primer, # varphi (p) = p-1 #. Això té sentit perquè cada número inferior a un nombre primer serà coprime amb ell.

Per tant, ara tenim # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

L’expressió anterior es pot traduir a # 12 ^ {p-1} # dividit per # p # té una resta de #1#.

Ara només hem de tenir en compte #2# i #3#, que com deia anteriorment, tots dos tenien restes de #0#.

Per tant, hem demostrat això en conjunt # 12 ^ {p-1} # dividit per # p # on # p # és un nombre primer té una resta de #0# quan p és igual #2# o bé #3# i té una resta de #1# d'una altra manera.

La resta d'un polinomi f (x) en x és 10 i 15 respectivament quan f (x) es divideix per (x-3) i (x-4). Trobeu la resta quan f (x) es divideix per (x- 3) (- 4)?

5x-5 = 5 (x-1). Recordem que el grau de la resta de poli. sempre és menor que la del divisor poli. Per tant, quan f (x) es divideix per un pol quadràtic. (x-4) (x-3), la resta poli. ha de ser lineal, per exemple, (ax + b). Si q (x) és el quocient poli. en la divisió anterior, doncs, tenim, f (x) = (x-4) (x-3) q (x) + (ax + b) ............ <1> . f (x), quan es divideix per (x-3) abandona la resta 10, rArr f (3) = 10 .................... [perquè, "el Teorema de la resta] ". A continuació, per <1>, 10 = 3a + b .................................... <2 >. De la mateixa ma

Un terç del salari setmanal de Ned s’utilitza per pagar el lloguer, mentre que dedica una cinquena part de la resta als aliments. Estalvia una quarta part de la resta dels diners. Si encara té 360 dòlars, quant pagava Ned?

900 dòlars, ja que les fraccions estan treballant en la quantitat restant de l'import anterior, hem de treballar cap enrere. Comencem amb $ 360. Això és després que hagi estalviat 1/4 de la quantitat anterior - i per tant aquesta quantitat és l'altra 3/4. I així podem dir: 360 / (3/4) = (360xx4) / 3 = $ 480 Així que $ 480 és la quantitat restant després que va comprar el menjar. El menjar que va comprar va ser 1/5 del que tenia anteriorment, de manera que $ 480 és la resta de 4/5: 480 / (4/5) = (480xx5) / 4 = $ 600 $ 600 és la quantitat restant després de

Quan un polinomi es divideix per (x + 2), la resta és -19. Quan el mateix polinomi es divideix per (x-1), la resta és 2, com es determina la resta quan el polinomi es divideix per (x + 2) (x-1)?

Sabem que f (1) = 2 i f (-2) = - 19 del teorema restant troben ara la resta de polinomi f (x) quan es divideix per (x-1) (x + 2) la resta serà de la forma Ax + B, perquè és la resta després de la divisió per un quadràtic. Ara podem multiplicar els temps divisors del quocient Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B A continuació, inseriu 1 i -2 per a x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Resolent aquestes dues equacions, obtenim A = 7 i B = -5 Resta = Ax + B = 7x-5