Prova que N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) és un nombre enter?

Resposta:

Tingueu en compte # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Això té una arrel real que és #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Explicació:

Tingueu en compte l’equació:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Utilitzant el mètode de Cardano per solucionar-lo, anem #t = u + v #

Llavors:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Eliminar el terme en # (u + v) #, afegiu la restricció # uv = 7 #

Llavors:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multiplicar per # u ^ 3 # i reordena per obtenir el quadràtic # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

per la fórmula quadràtica, això té arrels:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (blanc) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (blanc) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (blanc) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Com que és real i la derivació era simètrica # u # i # v #, podem utilitzar una d’aquestes arrels # u ^ 3 # i l'altra per # v ^ 3 # deduir que el zero de Real # t ^ 3-21t-90 # és:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

però trobem:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Així, el zero real de # t ^ 3-21t-90 # és #6#

Tan # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#color (blanc) () #

Nota al peu

Per trobar l'equació cúbica, vaig utilitzar el mètode de Cardano cap enrere.

Resposta:

#N = 6 #

Explicació:

Fer #x = 45 + 29 sqrt (2) # i #y = 45-29 sqrt (2) # llavors

# (x ^ (1/3) + i ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + i #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

tan

# (x ^ (1/3) + i ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + i ^ (1/3)) #

o trucant #z = x ^ (1/3) + i ^ (1/3) # tenim

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

amb # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # i #z = 6 # és una arrel així

# x ^ (1/3) + i ^ (1/3) = 6 #

El dígit de les unitats del nombre enter de dos dígits és més que el nombre de desenes. La relació entre el producte i els dígits del nombre sencer és 1/2. Com es troba aquest enter?

36 Suposem que el dígit de les desenes és t. A continuació, el dígit de les unitats és t + 3 El producte dels dígits és t (t + 3) = t ^ 2 + 3t El enter sencer és 10t + (t + 3) = 11t + 3 Pel que se'ns diu: t ^ 2 + 3t = 1/2 (11t + 3) Així: 2t ^ 2 + 6t = 11t + 3 Així: 0 = 2t ^ 2-5t-3 = (t-3) (2t + 1) És a dir: t = 3 " "o" "t = -1/2 Com que se suposa que t és un enter enter positiu inferior a 10, l’única solució vàlida té t = 3. Aleshores, el nombre sencer és: 36

Què és un nombre real, un nombre sencer, un nombre enter, un nombre racional i un nombre irracional?

Explicació A sota dels nombres racionals hi ha tres formes diferents; enters, fraccions i decimals terminants o recurrents com 1/3. Els números irracionals són bastant "desordenats". No es poden escriure com a fraccions, sinó decimals interminables i no repetits. Un exemple d’aquest és el valor de π. Un nombre sencer es pot anomenar un enter i és un nombre positiu o negatiu, o zero. Un exemple d'això són 0, 1 i -365.

És el nombre real de sqrt21, el nombre racional, el nombre sencer, l’enter, el nombre irracional?

És un nombre irracional i, per tant, real. Demostrem primer que sqrt (21) és un nombre real, de fet, l’arrel quadrada de tots els nombres reals positius és real. Si x és un nombre real, llavors definim per als nombres positius sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Això vol dir que mirem tots els nombres reals i tals que y ^ 2 <= x i prenem el nombre real més petit que sigui més gran que tots aquests, el que es diu suprem. Per als nombres negatius, aquests no existeixen, ja que per a tots els nombres reals, prendre el quadrat d’aquest nombre resulta en un nombre positiu i t