Si us plau, resoldre això? quina opció és correcta?

Això es veu fàcilment com a no factible per mitjans elementals, així que el vaig resoldre numèricament i vaig obtenir:

He avaluat la integral per a #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Aleshores era clar #0.5#.

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

o bé

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx el 1 #

Ara assumint que una de les respostes és certa, el més natural sembla ser el quart 4)

NOTA

per #x a 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Resposta:

#1/2#

Explicació:

Com ja s’ha mostrat en una solució anterior, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

existeix i està delimitada:

# 1/2 le I_n <1 #

Ara la integració per parts produeix

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n vegades (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Ara, des de # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # in #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

Des de #lim_ (n to oo) I_n # existeix, ho tenim

#lim_ (n a oo) J_n = lim_ (n a oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n a oo) 2 / (n + 2) vegades lim_ (n a oo) I_ (n + 2) = 0 #

Per tant

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #