Un triangle té els costats A, B i C. Els costats A i B tenen longituds de 2 i 4, respectivament. L’angle entre A i C és (7pi) / 24 i l’angle entre B i C és (5pi) / 8. Quina és l'àrea del triangle?

Resposta:

La zona és # sqrt {6} - sqrt {2} # unitats quadrades, aproximadament #1.035#.

Explicació:

L’àrea és la meitat del producte de dues cares, que és el sinus de l’angle entre elles.

Aquí se'ns donen dos costats, però no l’angle entre ells, se'ns dóna el altres dos angles en el seu lloc. Per tant, primer determineu l’angle que falta, observant que la suma de tots els tres angles és #Pi# radians:

# heta = pi- {7 pi} / {24} - {5 pi} / {8} = pi / {12} #.

Llavors l’àrea del triangle és

Àrea # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

Hem de calcular # sin (pi / {12}) #. Això es pot fer utilitzant la fórmula del sinus d’una diferència:

#sin (pi / 12) = sin (color (blau) (pi / 4) -color (or) (pi / 6)) #

# = sin (color (blau) (pi / 4)) cos (color (or) (pi / 6)) - cos (color (blau) (pi / 4)) pecat (color (or) (pi / 6)) #

# = ({sqrt {2}} / 2) ({sqrt {3}} / 2) - ({sqrt {2}} / 2) (1/2) #

# = {sqrt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Llavors la zona es dóna per:

Àrea # = (1/2) (2) (4) ({sqrt {6} - sqrt {2}} / 4) #

# = sqrt {6} - sqrt {2} #.