Quin és el domini i el rang de la funció: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Resposta:

El domini és # (- oo, oo) # i el rang #0, 1/2#

Explicació:

Donat:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Tingueu en compte que per a qualsevol valor real de # x #, el denominador # 1 + x ^ 4 # no és zero.

Per tant #f (x) # està ben definit per a qualsevol valor real de # x # i el seu domini és # (- oo, oo) #.

Per determinar l’interval, deixeu:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Multiplica els dos extrems per # 1 + x ^ 4 # aconseguir:

#yx ^ 4 + y = x ^ 2 #

Restant # x ^ 2 # des de tots dos costats, podem reescriure això com:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Això només tindrà solucions reals si el seu discriminant no és negatiu. Posar # a = y #, # b = -1 # i # c = i #, el discriminant # Delta # es dóna per:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (i) (i) = 1-4y ^ 2

Per tant, necessitem:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Per tant:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Tan # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

A més, tingueu en compte que #f (x)> = 0 # per a tots els valors reals de # x #.

Per tant # 0 <= y <= 1/2 #

Així que el rang de #f (x) # és #0, 1/2#